Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2=x1+y2+y1+z2+z1+x2+11+y2+11+z2+11+x2=M+N

Xét M=x1+y2+y1+z2+z1+x2, áp dụng kỹ thuật Côsi ngược dấu ta có:

x1+y2=x1+y2−xy21+y2=x−xy21+y2≥x−xy22y=x−xy2

Tương tự: y1+z2≥y−yz2; z1+x2≥z−zx2;

Suy ra M=x1+y2+y1+z2+z1+x2≥x+y+z−xy+yz+zx2=3−xy+yz+zx2

Lại có: x2+y2+z2≥xy+yz+zx⇒x+y+z2≥3xy+yz+zx⇒xy+yz+zx≤3

Suy ra: M≥3−xy+yz+zx2≥3−32=32

Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z.

Xét N=11+y2+11+z2+11+x2, ta có: 

3−N=1−11+y2+1−11+z2+1−11+x2

             =y21+y2+z21+z2+x21+x2≤y22y+z22z+x22x=x+y+z2=32

Suy ra: N≥3−32=32.

Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z=1

Từ đó suy ra: Q≥3. Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z=1

Vậy Qmin=3⇔x=y=z=1