Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện: 4x^2+2y^2+2z^2−4xy−4xz+2yz−6y−10z+34=0 Tìm x, y, z.

Ta có: \[4{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0\]

\[\left[ {4{x^2} - 4x\left( {y + z} \right) + \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right)} \right] + {y^2} + {z^2} - 6y - 10z + 34 = 0\]

\[\left[ {4{x^2} - 4x\left( {y + z} \right) + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right] + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) + \left( {{z^2} - 10z + 25} \right) = 0\]

\[{\left( {2x - y - z} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 0\left( * \right)\]

Với mọi \(x,y,z\) ta có: \[{\left( {2x - y - z} \right)^2} \ge 0;{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {z - 5} \right)^2} \ge 0\]

Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi : \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {2x - y - z} \right)^2} = 0\end{array} \right.\]

Hay\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 0\\y - 3 = 0\\z - 5 = 0\end{array} \right.\], tức là \[\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\z = 5\\x = 4\end{array} \right.\]