Cho x , y , z , a , b , c là ba số thực thay đổi thỏa mãn x^2 + ( y − 1 )^2 + ( z − 1 )^2 = 1 và a + b + c = 4 . Giá trị nhỏ nhất của
66/100
Cho \(x,y,z,a,b,c\) là ba số thực thay đổi thỏa mãn \({x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 1\) và \(a + b + c = 4\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2}\) bằng \(\frac{{k + p\sqrt 3 }}{q}\) (phân số tối giản với \(q > 0\)).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
Giá trị của \(k\) bằng _______.
Giá trị của \(p\) bằng _______.
Giá trị của \(q\) bằng _______.
Đáp án
Giá trị của \(k\) bằng 7 .
Giá trị của \(p\) bằng -4 .
Giá trị của \(q\) bằng 3 .
Giải thích
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), gọi điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\), điểm \(N\left( {a;b;c} \right)\).
Khi đó \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {0;1;1} \right)\), bán kính \(R = 1\) và \(N\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).
Suy ra \(P = {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = M{N^2}\left( 1 \right)\).
Ta có \(\left| {IN - MI} \right| \le MN\) suy ra \(MN\) nhỏ nhất khi \(M,N,I\) thẳng hàng.
Do vậy \(MN\) nhỏ nhất khi \(N\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( P \right)\) và \(M\) là giao của \(IN\) và mặt cầu.
Khi đó \(MN = IN - R\).
Mà \(IN = {\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 1 + 1 - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Suy ra \({P_{{\rm{min}}}} = {(IN - R)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} - 1} \right)^2} = \frac{{7 - 4\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(k = 7;p = - 4;q = 3\).