Cho x + y + z = 1 và biểu thức P = (x + y)^2/(xy + z).(y + z)^2/(yz + x).(z + x)^2/(zx + y). Chứng minh rằng giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào biến giá trị của biến.

Hướng dẫn giải

Ta có \(xy + z = xy + z\left( {x + y + z} \right) = xy + zx + zy + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right).\)

Tương tự, ta có

\(yz + x = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right).\)

\(zx + y = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right).\)

Thế vào \(P\), ta được

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}} \cdot \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}} \cdot \frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{zx + y}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}{{\left( {z + x} \right)}^2}}} = 1.\)

Vậy giá trị biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào biến giá trị của biến.