Cho x , y , z ≠ 0 thoả mãn x + y + z = x y z và 1/ x + 1/ y + 1 /z = 3. Tính giá trị của biểu thức P = 1/ x^2 + 1/ y^2 + 1/ z^2 .

Hướng dẫn giải

Do \(x,\,\,y,\,\,z \ne 0\) nên từ giả thiết \(x + y + z = xyz\) ta có: \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1.\)

Xét biểu thức: \(P = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\)\( = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)\)

Khi đó \(P = {3^2} - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7.\)

Vậy \(P = 7.\)