Cho x,y thuộc Z và x khác y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp:

Xét y=0

Xét y≠0, chia cả tử và mẫu cho y2. Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng −3.

Cách giải:

Xét y=0, ta có:P=1 .

Xét y≠0, chia cả tử và mẫu của 1 cho y2, ta có:

P=xy2−6xy+6xy2−2xy+1

Đặt t=xyt≠1. Biểu thức P trở thành:

P=t2−6t+6t2−2t+1

Ta sẽ đi chứng minh:P≥−3∗

Ta có:

t2−6t+6t2−2t+1≥−3

⇔t2−6t+6≥−3t2+6t−3

⇔4t2−12t+9≥0

⇔2t−32≥0

⇒∗ luôn đúng.

Dấu "=" xảy ra ⇔2t−3=0⇔t=32⇔xy=32⇔2x=3y.

Vậy minP=−3, đạt được khi 2x=3y.