Cho (x,y) thỏa mãn (x^2 + 2xy + 6x + 6y + 2y^2 + 8 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + 2024.

Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)

\[\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + {y^2} + 8 = 0\]

\[{\left( {x + y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x + y} \right) \cdot 3 + 9 - 1 =  - {y^2}\]

\[{\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) =  - {y^2}\]

Mà \({y^2} \ge 0\) với mọi \(y\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)

Do đó \[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\] \(\left( * \right)\)

Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)

Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)

Nên \(2020 \le P \le 2022\)

Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right.\);

GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 0\end{array} \right.\).