Cho x , y thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của A = 2 ⋅ 3^y + 1/ 24 ⋅ 3 2^x là

45/50

Cho \[x,\,\,y\] thỏa mãn $x + y = 2.$ Giá trị nhỏ nhất của \[A = 2 \cdot {3^y} + \frac{1}{{24}} \cdot {3^{2x}}\] là

${A_{\min }} = 2.$

${A_{\min }} = \frac{{81}}{8}.$

${A_{\min }} = \frac{9}{2}.$

${A_{\min }} = \frac{{51}}{8}.$

Giải thích

Ta có: $x + y = 2 \Leftrightarrow y = 2 - x$

Xét $A = 2 \cdot {3^y} + \frac{1}{{24}} \cdot {3^{2x}} = 2 \cdot {3^{2 - x}} + \frac{1}{{24}} \cdot {3^{2x}} = \frac{{18}}{{{3^x}}} + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {{3^x}} \right)^2}.$

Đặt $t = {3^x},t > 0$, khi đó $A = \frac{{18}}{t} + \frac{{{t^2}}}{{24}}.$

Xét $A' = \frac{t}{{12}} - \frac{{18}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 6.$

Bảng biến thiên của hàm số $A = \frac{{18}}{t} + \frac{{{t^2}}}{{24}}\;\,\forall t \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right).$

$Ta có: \(x + y = 2 \Leftrig (ảnh 1)$

Khi đó $A$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = 6 \Rightarrow {A_{\min }} = \frac{9}{2}.$ Chọn C.