Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x^2 + y^2 = 4. Chứng minh {x + y + 2} < 1

x² + y² = 4

⇔ (x + y)² – 2xy = 4

⇔ (x + y)² – 4 = 2xy

⇔ (x + y + 2)(x + y – 2) = 2xy

Suy ra: \(\frac{{xy}}{{x + y + 2}} = \frac{1}{2}\frac{{\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y - 2} \right)}}{{x + y + 2}} = \frac{1}{2}\left( {x + y - 2} \right)\)

Xét \(\frac{{xy}}{{x + y + 2}} \le \frac{1}{2}\left( {2\sqrt 2 - 2} \right) \le \sqrt 2 - 1 < 1\)

Vậy \(\frac{{xy}}{{x + y + 2}} < 1\)