Cho x,y là các số thực thỏa mãn (x^2) + (y^2) + xy - 3x - 3y + 3 = 0. Chứng minh biểu thức P = (3x + 2y - 6)^(1010) + (x - y + 1)^(1011) + 2021 có giá trị là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có: \({x^2} + {y^2} + xy - 3x - 3y + 3 = 0\)

 \(4{x^2} + 4{y^2} + 4xy - 12x - 12y + 12 = 0\)

 \(4{x^2} + 2 \cdot 2x \cdot \left( {y - 3} \right) + {\left( {y - 3} \right)^2} + 3{y^2} - 6y + 3 = 0\)

\({\left( {2x + y - 3} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta có \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} = 0;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = y = 1.\)

Thay \(x = y = 1\) vào biểu thức \(P,\) ta được:

\(P = {\left( {3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 6} \right)^{1010}} + {\left( {1 - 1 + 1} \right)^{1011}} + 2\,\,021 = {\left( { - 1} \right)^{1010}} + {1^{1011}} + 2\,\,021 = 2\,\,023.\)

Vậy biểu thức \(P\) có giá trị là một số nguyên.