Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có:2x+y−13x+y+1=3x+3y+1

⇔2x+y3x+y+1=6x+6y+2

⇔6x+y+2x+y=6x+y+2

Đặt x+y=t, phương trình trở thành  6t+2t=6t+2⇔6t+2t−6t−2=0

Xét hàm số ft=6t+2t−6t−2 ta có:

f't=6t.ln6+2t.ln2−6

f''t=6t.ln26+2t.ln22>0∀t∈R

Do đó hàm số y=f't đồng biến trên R, suy ra phương trình f't=0 có nhiều nhất 1 nghiệm

Suy ra phương trình ft=0 có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có f0=60+20−6.0−2=0f1=61+21−6.1−2=0 do đó phương trình ft=0 có đúng 2  nghiệm t = 0, t = 1.

⇒x+y=0x+y=1

TH1: x+y=0⇒y=−x thay vào P ta có:  P=x2+xy+y2=x2≥0

TH2: x+y=1⇒y=1−x thay vào P ta có:

P=x2+x1−x+1−x2=x2−x+1 =x−122+34≥34  

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi x + y = 0

Đáp án cần chọn là: D