Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x > y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log_xy(x^3) + 27 log_y(xy).

Đáp án: 21

Cho \[x > y > 1\] đặt \[t = {\log _y}x \Rightarrow t = {\log _y}x > {\log _y}y = 1 \Rightarrow t > 1 \Rightarrow t - 1 > 0\]

Ta có \[{\log _{\frac{x}{y}}}\left( {{x^3}} \right) = 3{\log _{\frac{x}{y}}}x = \frac{3}{{{{\log }_x}x - {{\log }_x}y}} = \frac{3}{{1 - {{\log }_x}y}} = \frac{3}{{1 - \frac{1}{t}}} = \frac{{3t}}{{t - 1}}\]

Ta có \[27{\log _y}\left( {\frac{x}{y}} \right) = 27\left( {{{\log }_y}x - {{\log }_y}y} \right) = 27\left( {t - 1} \right)\]

Thay vào biểu thức P ta được\[P = \frac{{3t}}{{t - 1}} + 27\left( {t - 1} \right) = 3 + \frac{3}{{t - 1}} + 27\left( {t - 1} \right)\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \[\frac{3}{{t - 1}},27\left( {t - 1} \right)\] ta có

\[\begin{array}{l}\frac{3}{{t - 1}} + 27\left( {t - 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{3}{{t - 1}}.27\left( {t - 1} \right)}  = 18\\ \Rightarrow P \ge 3 + 18 = 21\end{array}\]