Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau

22/235

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau: $\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x.$

Biết $y \le 1000$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn bất đẳng thức trên?

1501100

1501300

1501400

1501500

Giải thích

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có: $\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x$

$ \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \le (9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}) - ({x^2}{y^2} + 2xyy + {y^2})$

$ \Leftrightarrow \log (xy + y) - \log (3{y^2} + y) \le {(3{y^2} + y)^2} - {(xy + y)^2}$

$ \Leftrightarrow \log (xy + y) + {(xy + y)^2} \le \log (3{y^2} + y) + {(3{y^2} + y)^2}$

Xét hàm:$f(t) = \log t + {t^2}\quad {\rm{voi }}t \in (0; + \infty )$

$f'(t) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0,\;\forall t \in (0; + \infty )$$ \Rightarrow f(t)\;{\rm{??ng bi?n tr\^e n }}(0; + \infty )$

Vì $y\le 1000$ nên có các trường hợp sau:

$y = 1 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} $

$y = 2 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3;4;5;6\} $

$y = 1000 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3; \ldots ;3000\} $

Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $3 + 6 + 9 + \cdots + 3000 = 1501500$

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

· Công thức tổng quát: Khi đề cho bất đẳng thức dạng $f\left( {x,y} \right)\backslash leq\;k$, ta thường:

o Cố định một biến, đếm số giá trị biến còn lại.

o Sử dụng hàm đặc trưng: số cặp = $\mathop \sum \limits_y \;$số giátrị $x$thỏa

· Với bài HSA, thường cho giới hạn $y \le \;N$. Hãy xét từng trường hợp biên.

· Nếu bất đẳng thức có dạng $\frac{x}{y} \le C$, đổi thành $x \le \;Cy$ để dễ đếm.