Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.

Lời giải

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3\left( {y - \sqrt {1 + x} } \right) - {y^2} + x \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y + {y^2} - 3y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\sqrt {1 + x} + \left( {1 + x} \right) - 3\sqrt {1 + x} \)(1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t + {t^2} - 3t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có\(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} + 2t - 3\mathop \ge \limits^{AM - GM} 2\sqrt {\frac{1}{{t{\rm{ln}}2}}.2t} - 3 = 2\sqrt {\frac{2}{{{\rm{ln}}2}}} - 3 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Kết hợp với (1), suy ra \(f\left( y \right) = f\left( {\sqrt {1 + x} } \right) \Leftrightarrow y = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow {y^2} = 1 + x\).

Thay vào \(P = \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), ta được \(P = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Ta có

\({(1 + x)^2} \le 2\left( {1 + {x^2}} \right) \Rightarrow 1 + x \le \sqrt 2 .\sqrt {1 + {x^2}} \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} \ge \frac{{1 + x}}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \le \frac{{x + 1}}{{\frac{{1 + x}}{{\sqrt 2 }}}} = \sqrt 2 \Rightarrow P \le \sqrt 2 \)

Do đó giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(x = 1 \Rightarrow y = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 \).