cho x,y hữu tỉ tm x^3-y^3=2xy. c/m căn của 1 xy là số hữu tỉ

Lời giải:

Ta có: x³ + y³ = 2xy

Bình phương 2 vế ta được: (x³ + y³)² = 2xy

Suy ra x⁶ + y⁶ + 2x³y³ = 4x²y²

Suy ra  x⁶ + y⁶ - 2x³y³ = 4x²y² – 4x³y³

Suy ra (x³ - y³)² = 4x²y²(1 – xy)

Suy ra  1 - xy =\(\frac{{{{\left( {{x^3} - {y^3}} \right)}^2}}}{{4{x^2}{y^2}}} = {\left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{2xy}}} \right)^2}\)

Do đó\(\sqrt {1 - xy} = \left| {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{2xy}}} \right|\) là một số hữu tỉ.