Cho x thỏa mãn 6(sin x − cos x) + sin x cos x + 6 = 0. Tính cos(x − pi/4).

Đặt \[t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\]. Điều kiện \[ - \,\sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 .\]

Ta có \[{t^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}.\]

Phương trình đã cho trở thành \[6t + \frac{{1 - {t^2}}}{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \,1\\t = 13\left( {loa\"i i} \right)\end{array} \right.\]                         

\[ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

\[ \Rightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right] = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]