Cho x > 1; y > 1 và x + y = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =  3x +  4y + 5/x-1 + 9/y-1

Với x > 1;y > 1vàx+y=6 ta có:

S= 3x+ 4y+ 5x−1 + 9y−1

= 54x+74x + 94y+74y + 5x−1 + 9y−1 – 54– 94 + 72

= 54x – 54 + 5x−1 + 94y – 94 + 9y−1 + 74x + 74y + 72

= 54. (x – 1) + 5x−1 + 94. (y– 1) + 9y−1 + 74. (x + y) + 72

= 72. (x – 1) + 5x−1 + 94. (y– 1) + 9y−1 + 74. 6 + 72

= 54. (x – 1) + 5x−1 + 94. (y– 1) + 9y−1 + 14

Với x > 1;y > 1, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm 54. (x – 1) và 5x−1 ta có:

54. (x – 1) + 5x−1 ≥ 2 54(x−1).5(x−1) 

Þ 54. (x – 1) + 5x−1 ≥  2. 254 = 2.52 = 5

Với x > 1;y > 1, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm 94. (y– 1) và 9y−1 ta có:

94. (y– 1) + 9y−1 ≥  2 94(y−1).9(y−1) 

Þ 94. (y– 1) + 9y−1 ≥  2 814 = 2 .92 = 9

Do đó:

S ≥ 5 + 9 +14 = 28

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 54(x−1)=5x−194(y−1)=9y−1x+y=6

⇔x−1=2y−1=2x+y=6 (do x > 1;y > 1)

⇔x=3y=3x+y=6

Vậy S_min = 28 với x = y = 3.