Cho $\widehat {xOy}$ là góc nhọn. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ ($A \ne O$). Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB$. Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OA$, cắt $Oy$

4/5

Cho $\widehat {xOy}$ là góc nhọn. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ ($A \ne O$). Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB$. Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OA$, cắt $Oy$ tại $E$. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OB$, cắt $Ox$ tại $F$.

a) Chứng minh $\Delta OAE = \Delta OBF$, từ đó suy ra $OE = OF$.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BF$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$. So sánh $EM$ và $\frac{{EI + IF}}{2}.$

c) Chứng minh ba điểm $O$, $I$, $M$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho $\widehat {xOy}$ là góc nhọn. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ ($A \ne O$). Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB$. Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OA$, cắt $Oy$ tại $E$. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OB$, cắt $Ox$ tại $F$. a) Chứng minh $\Delta OAE = \Delta OBF$, từ đó suy ra $OE = OF$. b) Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BF$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$. So sánh $EM$ và $\frac{{EI + IF}}{2}.$ c) Chứng minh ba điểm $O$, $I$, $M$ thẳng hàng. (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta OAE$ và $\Delta OBF$, có:

$\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ $

$OA = OB$ (giả thiết)

$\widehat {AOB}$ là góc chung

Do đó, $\Delta OAE = \Delta OBF$ (cgv – gn)

Suy ra $OE = OF$ (hai cạnh tương ứng)

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho $\Delta EIF$, ta được: $EF < EI + IF$.

Mà $2EM = EF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$)

Suy ra $2EM < EI + IF.$

Vậy $EM < \frac{{EI + IF}}{2}.$

c) Xét $\Delta EOF$ có hai đường cao $FB$ và $AE$ cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trực tâm của $\Delta OEF.$

Do đó, $OI \bot EF$ (1)

Xét $\Delta OEM$ và $\Delta OFM$, có:

$OM$ là cạnh chung

$ME = MF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$)

$OE = OF$ (câu a)

Do đó, $\Delta OEM = \Delta OFM$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {OME} = \widehat {OMF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ $ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ $ hay $OM \bot EF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O,I,M$ thẳng hàng.

Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 4

Cho \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn. Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\) (\(A \ne O\)). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OA = OB\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OA\), cắt \(Oy\)