Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục
26/30
Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\;\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích \(V\) của vật thể đó là
\[V = \sqrt 3 \].
\[V = 3\sqrt 3 \].
\[V = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\].
\[V = \pi \].
Chọn C
Do vật thể có đáy là đường tròn và khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) được thiết diện là tam giác đều do đó vật thể đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với trục \(Oy\) tại điểm \(O\).
Cạnh của tam giác đều thiết diện là: \(a = 2\sqrt {1 - {x^2}} \).
Diện tích tam giác thiết diện là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt 3 \).
Thể tích khối cần tìm là:
\(V = 2\int\limits_0^1 {Sdx} = 2\int\limits_0^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right) = \left. {2\sqrt 3 \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \).