Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
28/235
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \(x\,\,\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích \(V\) của vật thể đó là:
\(V = \sqrt 3 .\)
\(V = 3\sqrt 3 .\)
\(V = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\)
\(V = \pi .\)
Ở mặt đáy, tam giác \[OHB\] vuông tại \(H\) nên
\(HB = \sqrt {O{B^2} - O{H^2}} = \sqrt {1 - {x^2}} \)\( \Rightarrow AB = 2\sqrt {1 - {x^2}} \).
Diện tích của mặt cắt khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\,\,\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) là:
\(S\left( x \right) = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)\).
Thể tích \(V\) của vật thể đó là:
\[V = \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x\]
\[ = \left. {\sqrt 3 \left( {x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \sqrt 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\].
Chọn C.