Cho vật thể có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x^2 + y^2 = R^2

46/50

Cho vật thể có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x2+y2=R2. Biết rằng khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x−R≤x≤R thì được thiết diện là một hình vuông. Để thể tích V của vật thể đó bằng 2021 (đơn vị thể tích) thì R thuộc khoảng nào sau đây?

(6; 7)

(7; 8)

(9; 10)

(8; 9)

Giải thích

Phương pháp:

Giả sử vật thể T giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a, x = b. Cắt vật thể T bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ xa≤x≤b được thiết diện có thể tích S(x) Khi đó thể tích vật thể T là VT=∫abSxdx.

Cách giải:

Cho vật thể có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x^2 + y^2 = R^2 (ảnh 1)

Giả sử vật thể là hình trụ ⇒ Thiết diện ABCD là hình vuông.

Ta có DH=OD2−DH2=R2−x2⇒CD=2R2−x2.

⇒SABCD=CD2=4R2−x2.

Khi đó thể tích vật thể là:

V=∫−RR4R2−x2dx=4R2x−x33R−R

=4R3−R33+R3−R33=16R33

⇒16R33=2021⇔R≈7,24∈7;8.

Chọn B.