Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Vẽ các đường cao AM, CN của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của AM và CN; E là trung điểm AC. Khi đó:

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.    c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng.

Vì \(AM,CN\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\CN \bot AB\end{array} \right.\)

suy ra \(\widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ \).

Xét tứ giác \(BNHM\) có \(\widehat {BMH} + \widehat {BNH} = 2.90^\circ = 180^\circ \).

Suy ra tứ giác \(BNHM\) là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = 180^\circ \) hay \(\widehat {CBA} + \widehat {NHM} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {CHM} + \widehat {NHM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó, \(\widehat {ABC} = \widehat {CHM}\).

b) Đúng.

Tứ giác \(BNHM\) nội tiếp nên \(\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {AHC} = \widehat {NHM}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {AHC} = 180^\circ \).

Mặt khác \(BNHM\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \).

Do đó, \(\widehat {ADC} = \widehat {AHC}\).

Gọi \(E\) là trung điểm \(AC\).

c) Sai.

Xét tam giác \(ACM\) có \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) và \(ME\) là đường trung tuyến nên

\(EM = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) (*).

Xét tam giác \(ACN\) có \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) và \(NE\) là đường trung tuyến nên

\(EN = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) (**).

Từ (*) và (**) suy ra \(EM = EN = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) do đó tứ giác \(ACMN\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MNC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)).

d) Đúng.

Ta có: \(\widehat {MAC} + \widehat {ACM} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau).

Do đó, \(\widehat {ACM} = 90^\circ - \widehat {MAC}\).

Mà \(\widehat {ACM} + \widehat {ANM} = 180^\circ \) (tứ giác \(ACMN\) nội tiếp) nên \(90^\circ - \widehat {MAC} + \widehat {ANM} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {MAC} + 90^\circ = \widehat {ANM}\).