Cho tứ giác lồi ABCD. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có AB < AC + BC.

Xét tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta có AC < AD + DC.

Suy ra AB < BC + CD + DA.

b) Sai. Tương tự ý a), ta có DA < AB + BC + CD.

Suy ra DA < 3 + 4 + 5 = 12 (cm).

Như vậy DA không thể bằng 12 cm.

c) Đúng. Xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có AC < AB + BC.

Xét tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta có AC < AD + DC.

Suy ra 2AC < AB + BC + CD + DA

Do đó \({\rm{AC}} < \frac{1}{2}\)Chu vi tứ giác ABCD.

d) Sai. Nửa chu vi tứ giác ABCD là 10 cm.

Ta có 8 cm < 10 cm và 9 cm < 10 cm, thỏa mãn điều kiện ở ý c).

Hơn nữa, chứng minh tương tự ý d) của bài 10, tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác luôn lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó, ta có 8 + 9 = 17 (cm) > 10 cm nên thỏa mãn.

Vậy Nếu chu vi tứ giác là 20 cm thì hai đường chéo có thể có độ dài là 8 cm và 9 cm.