Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng

Lời giải

Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

\[2\overrightarrow {EI} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EL} = \frac{1}{2}\overrightarrow {ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} \]

\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {EC} } \right) = \frac{1}{2}.\overrightarrow {EF} \] (do F là trung điểm của DC)

Do đó \[2\overrightarrow {EI} = \frac{1}{2}.\overrightarrow {EF} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {EI} = \frac{1}{4}.\overrightarrow {EF} \]

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {EI} \) và \(\overrightarrow {EF} \) cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.