Cho tứ giác ABCD và một điểm M nằm giữa A và B. Chứng minh rằng MC + MD nhỏ hơn số lớn nhất trong hai tổng AC + AD; BC + BD.

Trước hết ta chứng minh bài toán phụ:

Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác (hoặc ở trên một cạnh nhưng không trùng với các đỉnh của tam giác). Chứng minh rằng MB+MC<AB+AC(h.7.15).

Thật vậy, xét ΔABD, ta có BD<AB+AD hay MB+MD<AB+AD.                                        (1)

Xét ΔMCD có MC < DC + MD.                         (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

MB+MD+MC<AB+AD+DC+MD⇒MB+MC<AB+AC

Bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu điểm M nằm trên một cạnh nhưng không trùng với đỉnh của tam giác.

Bây giờ ta vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho.

Vẽ điểm E đối xứng với D qua đường thẳng AB (h.7.16).

Khi đó AE = AD; ME = MD và BE = BD.

Vì điểm M nằm giữa A và B nên hoặc điểm M nằm trong ΔBEC hoặc điểm M nằm trong ΔAEC hoặc điểm M nằm trên cạnh EC.

Ta có ME+MC<AE+ACME+MC<BE+BC hay MD+MC<AD+ACMD+MC<BD+BC.

Do đó MD+MC<maxAD+AC;BD+BC.