Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD

a) Tứ giác AHIK có:

AHI^=900 (IH⊥AB)AKI^=900 (IK⊥AD)⇒AHI^+AKI^=1800

=> Tứ giác AHIK nội tiếp.

b) ∆IAD và ∆IBC có:

A^1=B^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))

AID^=BIC^ (2 góc đối đỉnh)

=> ∆IAD ~ ∆IBC (g.g)

⇒IAIB=IDIC⇒IA.IC=IB.ID

c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK cóK^1=D^1

A^1=H^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

mà A^1=B^1⇒H^1=B^1

Chứng minh tương tự, ta được K^1=D^1

∆HIK và ∆BCD có: H^1=B^1 ; K^1=D^1

=>  ∆HIK ~ ∆BCD (g.g)

d) Gọi S₁ là diện tích của ∆BCD.

Vì ∆HIK ~ ∆BCD nên:

S'S1=HK2BD2=HK2(IB+ID)2≤HK24IB.ID=HK24IA.IC                                (1)

Vẽ AE⊥BD , CF⊥BD⇒AE//CF⇒CFAE=ICIA 

∆ABD và ∆BCD có chung cạnh đáy BD nên:

S1S=CFAE⇒S1S=ICIA                                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra

S'S1⋅S1S≤HK24IA.IC⋅ICIA⇔S'S≤HK24IA2 (đpcm)