Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là giao điểm của hai tia BA và CD, N là giao điểm của hai tia DA và CB. Biết rằng góc BAD = 120° và góc AMD = 2 góc ANB. Tính số đo góc ANB?

30/50

Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[M\] là giao điểm của hai tia \[BA\] và \[CD,{\rm{ }}N\] là giao điểm của hai tia \[DA\] và $CB$. Biết rằng $\widehat {BAD} = 120^\circ $ và $\widehat {AMD} = 2\widehat {ANB}$. Tính số đo góc $\widehat {ANB}$?

$60^\circ $.

$120^\circ $.

$40^\circ $.

$20^\circ $.

Giải thích

Đáp án đúng là: D

$Đáp án đúng là: D Theo tính chất lượng giác, sin của một góc nhọn bằng côsin của góc phụ với nó. Do $\alpha $ và $\beta $ phụ nh (ảnh 1)$

Ta có $\widehat {MDA} = 180^\circ - \widehat {ADC} = 180^\circ - \left( {180^\circ - \widehat {ABC}} \right) = \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {NBA}$

Hay $\widehat {MDA} + \widehat {NBA} = 180^\circ $

Xét $\Delta MAD$ có $\widehat {DAB} = \widehat M + \widehat {MDA}$.

Xét $\Delta NAB$ có $\widehat {DAB} = \widehat N + \widehat {NBA}.$

Suy ra $2\widehat {DAB} = \widehat M + \widehat {MDA} + \widehat N + \widehat {NBA} = \widehat M + \widehat N + 180^\circ $

Do đó $\widehat M + \widehat N = 2\widehat {DAB} - 180^\circ = 2 \cdot 120^\circ - 180^\circ = 60^\circ .$

Kết hợp với giả thiết \[\widehat M = 2\widehat N\] ta có $3\widehat N = 60^\circ $ suy ra $\widehat {ANB} = 20^\circ $.