Cho tứ giác ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , O là trung điểm của IJ . Chứng minh rằng: −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC + −−→ MD = 4 −−→ MO với M là điểm bất kì.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \) (Do \[I\] là trung điểm của \[AB\])

\(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ} \) (Do \[J\] là trung điểm của \[CD\])

Mặt khác \[O\] là trung điểm \[IJ\] nên \(\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OI} + 2\overrightarrow {{\rm{OJ}}} = 2\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {{\rm{OJ}}} } \right) = \overrightarrow 0 \)

Với mọi điểm \[M\], ta lại có:

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 \)

⇔−4MO→+MA→+MB→+MC→+MD→=0→

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \) (đpcm).