Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN
Giải thích
a) Ta có M là trung điểm của AB nên GA→+GB→=2GM→.
Tương tự N là trung điểm CD nên GC→+GD→=2GN→.
Lại cso G là trung điểm của MN nên GM→+GN→=0→.
Khi đó: GA→+GB→+GC→+GD→=GM→+GN→=0→.
Ta có: EA→+EB→+EC→+ED→
=EG→+GA→+EG→+GB→+EG→+GC→+EG→+GD→
=4EG→+GA→+GB→+GC→+GD→
= 4EG→+0→
=4EG→.
Vậy EA→+EB→+EC→+ED→=4EG→.
b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên EB→+EC→+ED→=0→.
Thay vào câu a) ta có: EA→+0→=4EG→
Vậy EA→=4EG→.
c) Theo câu b ta có: EA→=4EG→ nên hai vectơ EA→, EG→ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.
Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.
Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.
Vì EA = 4 EG nên AG =34 AE.
Hai vectơ AG→ và AE→ cùng hướng.
Do đó: AG→=34AE→.