Cho tứ giác ABCD có ^C +^D=90 độ. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh

Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng AD và CB.

Xét ∆TCD có DTC^+TDC^+TCD^=180°

Suy ra DTC^=180°-TDC^+TCD^=180°-90°=90° nên AD ⊥ BC.

Xét ∆ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD nên MN là đường trung bình của ∆ABD, do đó MN // AD.

Tương tự, ta có MQ là đường trung bình của ∆ABC nên MQ // BC.

Mặt khác AD ⊥ BC, suy ra MN ⊥ MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có MN ⊥ NP, NP ⊥PQ.

Suy ra MNPQ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).

Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn có tâm O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.