Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB , AB = 8 , AD = a , BC = b . Gọi E là một điểm thuộc cạnh CD . Biết góc ˆ AEB = 90 ∘ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T =

Vì \(E\) là một điểm thuộc cạnh \(CD\) nên tồn tại \[k \in \left( {0;\,\,1} \right)\] sao cho \[k\overrightarrow {EC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0 \].

Khi đó, \[k\overrightarrow {BC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BE} \] và \[k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} \].

Lại có \(AD\) và \(BC\) cùng vuông góc với \(AB\) nên \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\), \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\) và \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab\) (hai vectơ cùng hướng).

Từ đó, suy ra

BE→⋅AE→=k2BC→⋅AC→+k1−kBC→⋅AD→+k1−kBD→⋅AC→+1−k2BD→⋅AD→

\[ = {k^2}\overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + k\left( {1 - k} \right)ab + k\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + {\left( {1 - k} \right)^2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\overrightarrow {AD} \]

\[ = {k^2}{b^2} + k\left( {1 - k} \right)ab + k\left( {1 - k} \right)\left( { - {8^2} + ab} \right) + {\left( {1 - k} \right)^2}{a^2}\]

\[ = {\left( {kb + \left( {1 - k} \right)a} \right)^2} - 64k\left( {1 - k} \right)\]

Do \[\widehat {AEB} = 90^\circ \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {AE} = 0 \Leftrightarrow kb + \left( {1 - k} \right)a = 8\sqrt {k\left( {1 - k} \right)} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{k}{{1 - k}}b} + \sqrt {\frac{{1 - k}}{k}a} = 8\].

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có \[8 = \sqrt {\frac{k}{{1 - k}}b} + \sqrt {\frac{{1 - k}}{k}a} \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow ab \le 16\].

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi \[a = b = 4\] và \[k = 0,5\].

Vậy \[\max T = 16\].