Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của DABC. Do đó, MN = \(\frac{1}{2}\)AC, MN // AC.

Vì P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD nên PQ là đường trung bình của DADC.

Do đó, PQ = \(\frac{1}{2}\)AC, PQ // AC.

Do đó, MN = PQ, MN // PQ.

b) Đúng.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của DC, BC nên PN là đường trung bình của DDBC.

Do đó, NP // BD.

Vì MN // AC, AC ^ BD nên MN ^ BD.

Mà NP // BD nên MN ^ NP, suy ra \(\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ \)

Tứ giác MNPQ có: MN = PQ, MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ \) nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

c) Đúng.

Vì tứ giác MNPQ là hình chữ nhật, mà O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ nên OM = OP = ON = OQ.

d) Sai.

Vì OM = OP = ON = OQ nên bốn điểm M, P, N, Q cùng nằm trên đường tròn bán kính OQ.