Cho tứ giác ABCD có AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 . Chứng minh rằng hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

Ta có: \[A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}\]

\( \Leftrightarrow A{B^2} + C{D^2} - B{C^2} - A{D^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {A{B^2} - B{C^2}} \right) + \left( {C{D^2} - A{D^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {CD} }^2} - {{\overrightarrow {DA} }^2}} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {CA} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)} \right)\overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {BD} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow AC \bot BD\).

Vậy hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.