Cho tứ giác ABCD có AB nhỏ hơn AD; BC nhỏ hơn CD nội tiếp đường tròn đường kính BD,  AB cắt DC tại E; CB cắt DA tại F, DB cắt EF tại G.

a.Chứng minh rằng \[BD \bot {\rm{EF}}\] tại G

Có \[\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = {90^0}\]( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BD)

Suy ra \[AE \bot DF\] và \[FC \bot DE\]

Mà AE cắt FC tại B

Suy ra B là trực tâm của \[\Delta D{\rm{EF}}\]

Suy ra \[BD \bot {\rm{EF}}\] tại G

b. Chứng minh bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn.

Gọi I là trung điểm của FB

Ta có \[BD \bot {\rm{EF}}\] tại G (cmt)

\[ \to \Delta FGB\] vuông tại G \[ \to GI = {\rm{IF =  IB}}\](1)

\[AE \bot DF\] (cmt) suy ra \[ \to \Delta FBA\] vuông tại A  \[ \to AI = {\rm{IF =  IB}}\](2)

Từ (1) và (2)  \[ \to GI = AI = {\rm{IF =  IB}}\]

Suy ra bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

c. Chứng minh rằng \[BA.BE = BC.BF = BD.BG\]

+ c/m  (g.g)

\[ \to \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BE}}\] \[ \to BA.BE = BF.BC\] (1)

+ c/m  (g.g) \[ \to \frac{{BF}}{{BD}} = \frac{{BG}}{{BC}}\] \[ \to BF.BC = BD.BG\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[BA.BE = BC.BF = BD.BG\] (đpcm)

d. Chứng minh rằng B là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ACG\]

+ Xét tứ giác ABGF có bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn đường kính BF ( theo câu b) suy ra tứ giác ABGF nội tiếp đường tròn đường kính BF.

+ Do \[\widehat {BCE} = \widehat {BGE} = {90^0}\] nên Tứ giác DCEG nội tiếp đường tròn đường kính BE.

+Do \[\widehat {EAF} = \widehat {ECF} = {90^0}\] nên Tứ giác ACEF nội tiếp đường tròn đường kính EF.

Do đó \[\widehat {GAB} = \widehat {GFB}\]( =\[\frac{1}{2}\]sđ cung BG)

\[\widehat {CAE} = \widehat {EFA}\]( \[ = \frac{1}{2}\]sđ cung CE)

Suy ra \[\widehat {BAG} = \widehat {CAE}\left( { = \widehat {EFC}} \right)\] suy ra \[AB\] là đường phân giác của  \[\Delta ACG\](1)

Do đó \[\widehat {FCA} = \widehat {FEA}\]( =\[\frac{1}{2}\]sđ cung \[{\rm{AF}}\])

\[\widehat {GCF} = \widehat {GEB}\]( \[ = \frac{1}{2}\]sđ cung \[BG\])

Suy ra \[\widehat {FCA} = \widehat {GCF}\left( { = \widehat {FAE}} \right)\] suy ra \[CB\] là đường phân giác của  \[\Delta ACG\](2)

Từ (1) và (2) suy ra B là giao hai đường phân giác của \[\Delta ACG\]

Suy ra B là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ACG\] (đpcm)