Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3AB. Mặt phẳng (α) đi qua M song song với BD và AC, cắt cạnh CD tại P. Biết tỉ số PC/PD = a/b với

25/25

Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = $\frac{1}{3}$AB. Mặt phẳng (α) đi qua M song song với BD và AC, cắt cạnh CD tại P. Biết tỉ số $\frac{{PC}}{{PD}} = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, a, b ∈ ℕ, tính tổng a² + b².

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 5

$Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = $\frac{1}{3}$AB. Mặt phẳng (α) đi qua M song song với BD và AC, cắt cạnh CD tại P. Biết tỉ số $\frac{{PC}}{{PD}} = \frac{a}{b}$ với (ảnh 1)$

Ta có: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}$ ⇒ $\frac{{AM}}{{MB}}$ = $\frac{1}{2}$

Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N.

Vì mặt phẳng (α) ∥ AC, mà AC ⊂ (ABC), nên mặt phẳng (α) sẽ cắt (ABC) theo đoạn thẳng MN ∥ AC ⇒ $\frac{{NC}}{{NB}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}$.

Vì mặt phẳng (α) ∥ BD, mà BD ⊂ (BCD), nên mặt phẳng (α) sẽ cắt (BCD) theo đoạn thẳng NP ∥ BD ⇒ $\frac{{PC}}{{PD}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{1}{2}$.

⇒ a = 1, b = 2 ⇒ a² + b² = 1 + 4 = 5.