Cho tứ diện SABC, E,F lần lượt thuộc đoạn AC,AB

34/235

Cho tứ diện \(SABC\), \(E,F\) lần lượt thuộc đoạn \(AC,AB\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\). Gọi \(D\) là giao điểm của\({\rm{\;}}\left( {SAK} \right)\) với \(BC\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\(\frac{{AK}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KE}} + \frac{{CK}}{{KF}} \ge 6\).

\(\frac{{AK}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KE}} + \frac{{CK}}{{KF}} \le 6\).

\(\frac{{AK}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KE}} + \frac{{CK}}{{KF}} > 6\).

\(\frac{{AK}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KE}} + \frac{{CK}}{{KF}} < 6\).

Giải thích

Đáp án

\(\frac{{AK}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KE}} + \frac{{CK}}{{KF}} \ge 6\).

Giải thích

Cho tứ diện SABC, E,F lần lượt thuộc đoạn AC,AB (ảnh 1)

Nếu \(K\) trùng với trọng tâm G thì \(\frac{{AK}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KE}} + \frac{{CK}}{{KF}} = 6\).

Ta có \(\frac{{DK}}{{DA}} + \frac{{EK}}{{EB}} + \frac{{FK}}{{FC}} = \frac{{{S_{KBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{KAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{KAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\).

Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy ta có

\(\left( {\frac{{DK}}{{DA}} + \frac{{EK}}{{EB}} + \frac{{FK}}{{FC}}} \right)\left( {\frac{{DA}}{{DK}} + \frac{{EB}}{{EK}} + \frac{{FC}}{{FK}}} \right) \ge 9 \Rightarrow \frac{{DA}}{{DK}} + \frac{{EB}}{{EK}} + \frac{{FC}}{{FK}} \ge 9 \Rightarrow \frac{{AK}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KE}} + \frac{{CK}}{{KF}} \ge 6\)