Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện

Gắn trục tC0;4;0, S0;0;3ọa độ Ox, Oy, Oz như hình vẽ.

Vì tam giác SAC vuông tại A

⇒AC=2SΔSACSA=4cm

Vì AC2+AB2=BC2 nên tam giác ABC vuông tại A.

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

Ta có A0;0;0, B3;0;0,

Vì G là trọng tâm của tứ diện S.ABC nên ta có:

xG=xS+xA+xB+xC4=34yG=yS+yA+yB+yC4=1zG=zS+zA+zB+zC4=34⇒G34;1;34

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng α. Theo tính chất của tam diện vuông ta có: T=1AM2+1AN2+1AP2=1AH2.

Mà AH≤AG⇒T=1AM2+1AN2+1AP2=1AH2≥1AG2⇒T≥817.

Dấu “=” xảy ra khi H≡G tức mặt phẳng α đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 817.

Chọn A.