Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng là: B

Gọi J là trung điểmOB. Kẻ OH vuông góc AJ tạiH.

Vì J là trung điểm của OB nên $OJ=\frac{OB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Tam giác AOJ vuông tạiO, có OH là đường cao

Ta có: $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{J}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Vì I, J là trung điểm của BC và OB nên IJ là đường trung bình của DOBC.

Suy ra IJ // OC Þ OC // (AIJ)

Do đó: d(OC, AI) = d(OC, (AIJ)) = d(O, (AIJ)).

Vì IJ // OC mà OC ^ OB nên IJ ^ OB (1).

Vì OA ^ OB và OA ^ OC nên OA ^ (OBC) Þ OA ^ IJ (2).

Từ (1), (2), suy ra IJ ^ (OAB) Þ IJ ^ OH mà OH ^ AJ Þ OH ^ (AIJ).

Do đó d(O, (AIJ)) = OH = $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.