Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau

a)Ta có: OA⊥OBOA⊥OC

⇒OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC.1

OH⊥BC OH⊥ABC.2

Từ (1) và (2) Þ BC ^ (OAH).

b)Từ a) Þ BC ^ AH.    (*)

Ta dễ dàng chứng minh được OC ^ (OAB) Þ OC ^ AB.       (3)

Lại có: OH ^ AB    (do OH ^ (ABC)) Þ OH ^ AB.         (4)

Từ (3) và (4) Þ AB ^ (OHC) hay AB ^ HC. (**)

Từ (*) và (**) Þ H là trực tâm của tam giác ABC.

c)Dễ thấy OD, OH là các đường cao của tam giác OBC và OAD.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

1OD2=1OB2+1OC21OH2=1OA2+1OD2

Do đó 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.