Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau.

8/235

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên \({\rm{mp}}({\rm{ABC)}}\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau.

H là trực tâm \(\Delta ABC\).

\(\frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\).

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

CH là đường cao của \(\Delta ABC\).

Giải thích

Đáp án

\(\frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)

Giải thích

Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. (ảnh 1)

Gọi \(M = BC \cap AH\)

Ta có \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\) mà \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow {\rm{BC}} \bot {\rm{OH}}\)

\( \Rightarrow {\rm{BC}} \bot \left( {{\rm{OAH}}} \right) \Rightarrow {\rm{BC}} \bot {\rm{AH}},\,\,{\rm{BC}} \bot {\rm{OM}}\)

Chứng minh tương tự \( \Rightarrow {\rm{H}}\) là trực tập của tam giác ABC

Ta có \(OB \bot OC,OM \bot BC \Rightarrow \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

\(OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot OM\) mà \(OH \bot AM\) (do \(OH \bot \left( {ABC} \right)\))

\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)