Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

19/39

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\(H\) là trung điểm của \(AC\).

\(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

\(H\) là trung điểm của \(BC\).

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Giả sử .\(M = AH \cap BC\)

Có \(\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\) (1).

Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

Chứng minh tương tự, \(CH \bot AB\). Do đó \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).