Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Kẻ $OH \bot (ABC)$ tại $H$. Khi đó:

14/22

$OA \bot BC,OB \bot AC,OC \bot AB$.

ĐúngSai

Tam giác $ABC$ có ba góc nhọn.

ĐúngSai

$H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

ĐúngSai

$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OA \bot OB}\\{OA \bot OC}\end{array} \Rightarrow OA \bot (OBC) \Rightarrow OA \bot BC} \right.$;

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OB \bot OA}\\{OB \bot OC}\end{array} \Rightarrow OB \bot (OAC) \Rightarrow OB \bot AC;} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OC \bot OA}\\{OC \bot OB}\end{array} \Rightarrow OC \bot (OAB) \Rightarrow OC \bot AB.} \right.\end{array}$

b) Kẻ đường cao $OK$ của tam giác vuông $OBC$ thì $K$ nằm giữa $B$ và $C$.

${\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot OK}\\{BC \bot OA}\end{array} \Rightarrow BC \bot (OAK) \Rightarrow BC \bot AK} \right.$

Do đó $AK$ là đường cao của tam giác $ABC$, đồng thời $K$ nằm giữa $B$ và $C$ nên các góc $\widehat {ABC},\widehat {ACB}$ là góc nhọn.

Tương tự, kẻ đường cao $OE$ của tam giác vuông $OAB$ thì $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot OE}\\{AB \bot OC}\end{array} \Rightarrow AB \bot (OCE) \Rightarrow AB \bot CE} \right.$.

Do đó $CE$ là đường cao tam giác $ABC$, đồng thời $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ nên các góc $\widehat {ABC},\widehat {CAB}$ là góc nhọn.

Vậy tam giác $ABC$ có ba góc đều là góc nhọn.

$Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Kẻ $OH \bot (ABC)$ tại $H$. Khi đó: (ảnh 1)$

c) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot OA}\\{BC \bot OH}\end{array} \Rightarrow BC \bot (OAH) \Rightarrow BC \bot AH} \right.$.(1)

Tương tự $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot OC}\\{AB \bot OH}\end{array} \Rightarrow AB \bot (OCH) \Rightarrow AB \bot CH} \right.$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

d) Tam giác $OBC$ vuông tại $O$ có đường cao $OK$ nên $\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.(3)

Tam giác $OAK$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$ nên $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}$.(4)

Thay (3) vào (4), ta được: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Đề kiểm tra Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (có lời giải) - Đề 2

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc. Kẻ \(OH \bot (ABC)\) tại \(H\). Khi đó: