Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, góc AOB= góc AOC= 60 độ và BOC= 90 độ . a) Chứng minh rằng (OBC)  (ABC).

a) Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác OBC có OB = OC = a nên tam giác OBC cân tại O mà OM là trung tuyến nên OM đồng thời là đường cao hay OM ^ BC.

Vì tam giác OAC có OA = OC = a và AOC^=60° nên tam giác OAC đều, suy ra AC = a.

Vì tam giác OAB có OA = OB = a và AOB^=60° nên tam giác OAB đều, suy ra AB = a.

Xét tam giác OBC vuông tại O, có BC=OC2+OB2=a2+a2=a2 .

Xét tam giác OBC vuông tại O, OM là đường cao, có

1OM2=1OB2+1OC2=1a2+1a2=2a2⇒OM=a2.

Vì BC² = 2a² = a² + a² = AB² + AC² nên tam giác ABC vuông tại A.

Mặt khác AB = AC nên tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao hay AM ^ BC.

Xét tam giác ABC vuông tại A, AM là đường cao có:

1AM2=1AB2+1AC2=1a2+1a2=2a2⇒AM=a2.

Vì OA² = a² = a22+a22= OM² + AM² nên tam giác OMA vuông tại M, suy ra OM ^ MA.

Vì OM ^ MA và OM ^ BC nên OM ^ (ABC) mà OM Ì (OBC), suy ra (OBC) ^ (ABC).