Cho tứ diện đều SABC có tất cả các cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng.Có \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \cos \widehat {ASB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Tương tự \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2}}}{2};\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2}}}{2}\) nên \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} \).

b) Đúng. Có \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {SA} = \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) \cdot \overrightarrow {SA} = \overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SA} = 0\).

c) Đúng. Có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {SM} - \overrightarrow {SA} = - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \).

d) Sai.\[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} } \right) \cdot \overrightarrow {SC} \]\[ = - \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {SC} \]

\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).