Cho tứ diện đều cạnh a và điểm I bất kì nằm trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện bằng

Giả sử ta có tứ diện đều như hình vẽ.

Ta có \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

\(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Ta có \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) .

Mặt khác, \[{V_{SABC}} = {V_{ISAB}} + {V_{IABC}} + {V_{ISAC}} + {V_{ISBC}}\]

\( = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.[d(I;(SAB)) + d(I;(ABC)) + d(I;(SAC)) + d(I;(SBC))]\)

\( \Leftrightarrow d(I;(SAB)) + d(I;(ABC)) + d(I;(SAC)) + d(I;(SBC)) = \frac{{3{V_{SABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)