Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

11/22

Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\cos \left( {AB,DM} \right)$ bằng

$\frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

$\frac{{\sqrt 3 }}{6}.$

$\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

$\frac{1}{2}.$

Giải thích

$Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. (ảnh 1)$

Chọn B

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện $ABCD$ có cạnh bằng $a$.

Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$.

Gọi $E$ là trung điểm $AC$ $ \Rightarrow ME{\rm{ // }}AB \Rightarrow \left( {AB,DM} \right) = \left( {ME,MD} \right)$

Ta có: $\cos \left( {AB,DM} \right) = \cos \left( {ME,MD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MD} } \right)} \right| = \left| {\cos \widehat {EMD}} \right|$.

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của $\Delta MED:$$ME = \frac{a}{2}$, $ED = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta MED$, ta có: $\cos \widehat {EMD} = \frac{{M{E^2} + M{D^2} - E{D^2}}}{{2ME.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Từ đó: $\cos \left( {AB,DM} \right) = \left| {\frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Đề kiểm tra Hai đường thẳng vuông góc (có lời giải) - Đề 3

Cho tứ diện đều \(ABCD\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).