Cho tứ diện đều \[ABCD\], \[M\] là trung điểm của cạnh \[BC\].

12/22

Cho tứ diện đều \[ABCD\], \[M\] là trung điểm của cạnh \[BC\]. Khi đó \[\cos \left( {AB,DM} \right)\] bằng

\[\frac{{\sqrt 3 }}{6}\].

\[\frac{1}{2}\].

\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Giải thích

Chọn A

$Cho tứ diện đều \[ABCD\], \[M\] là trung điểm của cạnh \[BC\]. (ảnh 1)$

Giả sử cạnh của tứ diện là $a$.

Ta có \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\]

Mặt khác

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AM.\cos {30^0} - AB.AD.\cos {60^0}\]

\[ = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}.\]

Do có \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\]. Suy ra \[\cos \left( {AB,DM} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\].