Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó, cos(vecto AB, DM) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần

17/22

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho tứ diện đều \(ABCD\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khi đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp số: _____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng \(1\). Khi đó \(AB = 1\).

Vì \(ABCD\) là tứ diện đều nên tất cả các mặt là tam giác đều cạnh 1.

\(DM\) là đường cao trong tam giác đều \(BCD\) cạnh 1 \( \Rightarrow DM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} \):

\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} \).

Nhân vô hướng với \(\overrightarrow {AB} \): \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} \).

Vì các mặt là tam giác đều góc \(60^\circ \) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = \frac{1}{2}\); \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = \frac{1}{2}\); \({\overrightarrow {AB} ^2} = 1\).

Thay vào ta được \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).

Áp dụng công thức côsin góc giữa hai vectơ: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} }}{{AB \cdot DM}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \approx 0,28867\).

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được 0,29.

Đáp số: 0,29.