Cho tứ diện đều ABCD. Gọi varphi là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD). Tính cos varphi
21/78
Cho tứ diện đều \[ABCD\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng \[AB\] và mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]. Tính \[{\rm{cos}}\varphi \].
\[{\rm{cos}}\varphi = 0\].
\[{\rm{cos}}\varphi = \frac{1}{2}\].
\[{\rm{cos}}\varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[{\rm{cos}}\varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\]. Ta có \[BM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\].
Gọi \[H\] là chân đường cao hạ từ \[A\] xuống mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] thì \[H \in BM\] và \[BH = \frac{2}{3}BM\]\[ = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}\].
Góc giữa đường thẳng \[AB\] và mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] là \[\widehat {ABM}\].
Ta có \[{\rm{cos}}\varphi = \cos \widehat {ABM}\]\[ = \frac{{BH}}{{AB}}\]\[ = \frac{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{3}}}{{AB}}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].