Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AC,BC

20/235

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC,BC\); \(P\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là

\(\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}\).

\(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).

\(\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\).

\(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Giải thích

Đáp án

\(\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\).

Giải thích

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AC,BC (ảnh 1)

Trong tam giác \(BCD\) có: \(P\) là trọng tâm, \(N\) là trung điểm\(BC\). Suy ra \(N,P,D\) thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác \(MND\)

Xét tam giác \(MND\), ta có \(MN = \frac{{AB}}{2} = a\); \(DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Do đó tam giác \(MND\) cân tại \(D\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(MN\) suy ra \(DH \bot MN\).

Diện tích tam giác

\({S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\).